MATERI LOGIKA

Definisi

Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) jika dan hanya jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya.

Jika A dan B adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen, maka dituliskan seperti pada Persamaan 1

A ≡ B

Contoh

1. ¬(¬A) ≡ A
2. ¬(A∧B) ≡¬A∧¬B

Dalam membuktikan ekuivalensi P = Q, ada 3 macam cara yang bisa dilakukan:

1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat Q.
2. Q diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat P.
3. P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah (dengan menggunakan hukum-hukum yang ada), sehingga akhirnyasama-sama didapat R.

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke bentuk yang lebih sederhana.

ALJABAR PROPOSISI

Alajabar Proposisi adalah hukum-hukum aljabar yang dapat digunakan dalam proposisi. 

Hukum berasal dari (hu·kum (noun) ) yang artinya 1 peraturan atau adat yg secara resmi dianggap mengikat, yg dikukuhkan oleh penguasa atau pemerintah; 2 undang-undang, peraturan, dsb untuk mengatur pergaulan hidup masyarakat; 3 patokan (kaidah, ketentuan) mengenai peristiwa (alam dsb) yg tertentu; 4 keputusan (pertimbangan) yg ditetapkan oleh hakim (dl pengadilan); vonis; 

Aljabar berasal dari al·ja·bar (noun) yang artinya cabang matematika yg menggunakan tanda-tanda dan huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka-angka (a, b, c, sbg pengganti bilangan yg diketahui dan x, y, z untuk bilangan yg tidak diketahui).

Berikut adalah macam-macam dari Aljabar Proposisi

1. Hukum Idempoten

(a) p ∨ p ∼ = p

(b) p ∧ p ∼ = q

2. Hukum Komutatif

(a) p ∨ q ∼ = q ∨ p

(b) p ∧ q ∼ = q ∧ p

3. Hukum Asosiatif

(a) (p ∨ q) ∨ r ∼ = p ∨ (q ∨ r)

(b) (p ∧ q) ∧ r ∼ = p ∧ (q ∧ r)

4. Hukum Absorbsi

p ∨ (p ∧ q) ∼ = p, p ∧ (p ∨ q) ∼ = p

5. Hukum Distributif

(a) p ∧ (q ∨ r) ∼ = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(b) p ∨ (q ∧ r) ∼ = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

6. Hukum Identitas

(a) p ∨ F ∼ = p

(b) p ∨ T ∼ = T

(c) p ∧ F ∼ = F

(d) p ∧ T ∼ = p

7. Hukum Involution (Negasi Ganda)

(a) ¬¬ p ∼ = p

8. Hukum Komplemen (Negasi)

(a) p ∨¬ p ∼ = T

(b) p ∧¬ p ∼ = T

9. Hukum De Morgan

(a) ¬ ( p ∧ q) ∼ = ¬ p ∨¬ q

(b) ¬ (p ∨ q) ∼ = ¬ p ∧¬ q

10. Hukum Kontraposisi

p ⇒ q ∼ = ∼ q ⇒¬ p

11. Hukum Implikasi

p ⇒ q ∼ = ¬ p ∨ q

12. Hukum Biimplikasi

p⇔q ∼ = (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ p)

p⇔q ∼ = ( ¬ p ∨ q ) ∧ (¬ q ∨ p)